Inversion am Kreis

TL;DRAbstract

Man kann sich eine Funktion auch als eine Art Transformation oder „Abbildung“ der x-Achse auf die y-Achse vorstellen, wobei es sich bei den beiden Achsen um eindimensionale Punktmengen handelt. In der höheren Mathematik gibt es auch Transformationen zweidimensionaler Punktmengen in andere zweidimensionale Punktmengen, das heißt, Transformationen einer Ebene in eine andere Ebene. Eine der interessantesten Transformationen dieser Art ist die Inversion, oder genauer gesagt, die Inversion am Einheitskreis. Gegeben sei ein Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius 1; zu jedem Punkt P mit dem Abstand r von O (r = OP) gibt es einen Bildpunkt Q, der auf dem gleichen Strahl wie O und P liegt und von O den Abstand OQ = 1/r hat (Abb. 12.1). Auf diese Weise erhalten wir zwischen den Punkten der ursprünglichen und denen der neuen Ebene eine eindeutige Entsprechung: Jeder Punkt der einen Ebene wird auf einen Punkt der anderen Ebene abgebildet.1 Zu dieser Regel gibt es nur eine Ausnahme, nämlich den

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