TL;DRAbstract
Nach dem „Dimensionssatz der Linearen Algebra“ist ein (durch eine quadratische Matrix darstellbarer) linearer Operator A im ℝ N bekanntlich genau dann surjektiv, wenn er injektiv ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung Ax = y genau dann für jedes y ∈ ℝ N eine Lösung besitzt, wenn die Gleichung Ax = θ nur die triviale Lösung x = θ zulässt. Die Fredholmsche Alternative besagt, dass ein ähnliches Ergebnis für gewisse Klassen von Operatoren in unendlichdimensionalen Räumen gilt. Das wichtigste Beispiel für Operatoren aus dieser Klasse sind kompakte „Störungen“der Identität, und in gewissem Sinne ist dies das einzige Beispiel.
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Nach dem „Dimensionssatz der Linearen Algebra“ist ein (durch eine quadratische Matrix darstellbarer) linearer Operator A im ℝ N bekanntlich genau dann surjektiv, wenn er injektiv ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung Ax = y genau dann für jedes y ∈ ℝ N eine Lösung besitzt, wenn die Gleichung Ax = θ nur die triviale Lösung x = θ zulässt. Die Fredholmsche Alternative besagt, dass ein ähnliches Ergebnis für gewisse Klassen von Operatoren in unendlichdimensionalen Räumen gilt. Das wichtigste Beispiel für Operatoren aus dieser Klasse sind kompakte „Störungen“der Identität, und in gewissem Sinne ist dies das einzige Beispiel.
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